# Aplicaciones del modelo de Solow {#sec-solow_empirics}

En esta sección se presentan algunos ejemplos de como el modelo de Solow es capaz de explicar el crecimiento económico observado de algunos países.

## Crecimiento de transición

### Alemania tras la II Guerra Mundial

Tras la II Guerra Mundial, el stock de capital en Alemania había quedado destruido. Así, Alemania empieza el período de posguerra con un stock de capital muy bajo $K_0$ y, en consecuencia, con un ratio de capital eficiente por trabajador $K_0/A_{0}L_{0}$ muy bajo en 1950.^[Aunque la guerra también afectó al stock de población, el stock de capital fue el más afectado.]

Recordemos que si un país tiene un ratio de capital eficiente por trabajador muy lejano al del estado estacionario, la tasa de crecimiento del capital, $g_{K}$, será alta comparada con la tasa de crecimiento de la tecnología y de la población $g_{A}+g_{L}$. Esto implica la existencia de crecimiento de transición. El modelo de Solow predice que la tasa de crecimiento de la producción per cápita será alta al principio e irá disminuyendo a medida que el capital eficiente por trabajador se acerque a su nivel del estado estacionario. A partir de ese punto, el crecimiento de la producción per cápita será constante e igual a la tasa de crecimiento de la tecnología.

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El gráfico @fig-lngdppc_germany muestra la evolución del logaritmo de la producción per cápita en Alemania y en Estados Unidos. Recordemos que la pendiente de la representación logarítmica nos da una aproximación de la tasa de crecimiento. Se observa que Alemania creció a tasas muy altas en las décadas de los 50 y 60 y que a partir de los 70 el crecimiento se estabilizó. En cambio, Estados Unidos, encontrándose en su senda de crecimiento balanceado, ha crecido a una tasa constante tras la II Guerra Mundial.

También observamos que existe una brecha permanente en el nivel de producción per cápita de Alemania y Estados Unidos que no llega a cerrarse. Aunque Alemania parece estabilizar su tasa de crecimiento del PIB per cápita a un nivel similar al de Estados Unidos - la pendiente de ambas líneas es muy parecida a partir del año 2000 -- la brecha en el nivel de producción per cápita se mantiene. El modelo de Solow sugiere que esta brecha se debe a diferencias en alguno de los factores que determinan el nivel de producción per cápita en la senda de crecimiento equilibrado: ahorro ($s$), crecimiento de la población ($g_{L}$) o nivel de progreso tecnológico inicial ($A_{0}$).

### El caso de China

Podemos encontrar otros casos de "milagros" del crecimiento económico. Examinemos el caso de China. El gráfico @fig-lngdppc_china muestra la evolución del logaritmo del PIB per cápita en China y en Estados Unidos. En 1950 China era extremadamente pobre en comparación con Estados Unidos. Además, su crecimiento parecía estar bastante estancado en la década de 1950 a 1960. Sin embargo, a partir de 1970 China empieza a crecer y especialmente a partir de 1980 (vemos cómo la pendiente del logaritmo del PIB per cápita se hace más pronunciada). A partir de 2000 China crece a tasas muy altas (alrededor del 8%) y se acerca a la senda de crecimiento equilibrado.

::: {#fig-lngdppc_china}

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En línea con lo observado en el caso de Alemania, observamos un rápido crecimiento transicional en China a lo largo de la segunda mitad del siglo XX. Sin embargo, si nos fijamos, el caso de crecimiento transicional chino no parece tanto un caso de empezar en un punto por debajo de su PIB per cápita de la senda de crecimiento equilibrado, sino un salto en la senda de crecimiento equilibrado en sí misma. China parecía estar en su senda de crecimiento equilibrado (con tasas de crecimiento cercanas a 0) en la década de 1950 a 1960. Sin embargo, algo ocurre que hace que la economía se desplace a una senda de crecimiento equilibrado con tasas de crecimiento mucho más altas y que parecen estabilizarse a partir de 2010.

¿Qué puede haber causado este cambio en la senda de crecimiento equilibrado del PIB per cápita en China? El modelo de Solow indica que este cambio puede deberse a diversos factores; desde un aumento en la tasa de ahorro hasta un descenso en la tasa de crecimiento de la población. O la combinación de ambos. Podemos recurrir a los datos para ver si este es el caso. El gráfico @fig-gcf_asia muestra la evolución de la proporción del PIB destinada a formación bruta de capital en China.^[Dado que el ahorro en el modelo de Solow define directamente la parte del PIB que se dedica a invertir en nuevo capital, la proporción del PIB destinada a formación bruta de capital es un buen indicador de "ahorro".] Observamos cómo efectivamente la tasa de ahorro ha aumentado en China desde la década de 1980, dando un gran salto en la década del 2000 y estabilizándose a partir de 2010. De esta manera, el aumento en la tasa de ahorro en China parece ser un factor importante en el cambio de la senda de crecimiento equilibrado del PIB per cápita.

::: {#fig-gcf_asia}

![](../Figures/fig-ch3-fig3.png)

Fuente: @jones_introduction_2024
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Mientras que el aumento en la tasa de ahorro ya puede explicar cualitativamente el salto en la senda de crecimiento equilibrado de China, cuantitativamente el salto puede estar afectado por otros factores empujando a la nueva senda de crecimiento equilibrado en la misma dirección. El gráfico @fig-population_growth_asia muestra la evolución de la tasa de crecimiento de la población en China. Observamos cómo la tasa de crecimiento de la población en China ha disminuido desde la década de 1960 y se ha estabilizado a partir de 2010. Así, el descenso en la tasa de crecimiento de la población en China también ha contribuido a que la economía se desplace a una senda de crecimiento equilibrado con niveles de PIB per cápita más altos.

::: {#fig-population_growth_asia}

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## Diferencias en el nivel de PIB per cápita entre países

En la sección anterior hemos visto cómo el modelo de Solow puede ayudarnos a explicar la dinámica de crecimiento en dos países concretos. ¿Pero podemos generalizar estas dinámicas al resto de países? Vamos a verlo. Recordemos la definición del nivel de PIB per cápita en la senda de crecimiento equilibrado

$$ y_{t}^{BGP} = A_{t}(k^{SS})^{\alpha}, $$

donde $k^{SS}$ es el nivel de capital eficiente por trabajador en el estado estacionario es

$$ k^{SS} = \left( \frac{s}{g_{A}+g_{L}+\delta} \right)^{\frac{1}{1-\alpha}}. $$

Países que tengan mayores niveles de acumulación de capital ($g_{K}$), tenderán a ser más ricos, _ceteris paribus_^[_Ceteris paribus_ es una expresión en latín que se traduce como "todo lo demás constante".]. En estos países con mayor acumulación de capital, éste ($K$) se acumulará más rápido que el trabajo eficiente ($AL$) y por tanto el ratio de capital eficiente por trabajador $k$ será mayor, implicando un mayor nivel de producción per cápita en la senda de crecimiento equilibrado.

Al mismo tiempo, países con menores tasas de crecimiento de la población también tenderán a acumular más capital por trabajador y por tanto tendrán un nivel de PIB per cápita más alto a lo largo de la senda de crecimiento equilibrado.

¿Qué dicen los datos respecto a esta predicción? 

::: {#fig-solow_cross_county layout-ncol=2}

![](../Figures/fig-ch3-fig5.png){#fig-gcf_vs_lngdp}

![](../Figures/fig-ch3-fig6.png){#fig-pop_vs_lngdp}

Fuente: @jones_introduction_2024
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El gráfico @fig-gcf_vs_lngdp muestra la relación entre la media de la tasa de ahorro para el periodo 1970-2019 y el logaritmo del PIB per cápita en 2019 para un amplio conjunto de países. Podemos observar cómo efectivamente existe una correlación positiva entre la tasa de ahorro y el nivel de PIB per cápita al mismo tiempo que existe una correlación negativa entre la tasa de crecimiento de la población y el nivel de PIB per cápita. De esta forma, los datos parecen confirmar la predicción del modelo de Solow.

## Convergencia y diferencias en tasas de crecimiento entre países

Hemos visto que el modelo de Solow es capaz de explicar diferencias en los niveles de PIB per cápita entre países. Pero, ¿qué nos dice el modelo de Solow respecto a las diferencias en las tasas de crecimiento entre países?

El crecimiento transicional en el modelo de Solow nos dice que países con niveles de capital eficiente por trabajador muy bajos crecerán a tasas muy altas al principio y que estas tasas de crecimiento irán disminuyendo a medida que el capital eficiente por trabajador se acerque a su nivel del estado estacionario. En consecuencia, países con niveles de capital eficiente por trabajador muy bajos crecerán a tasas más altas que países con niveles de capital eficiente por trabajador más altos. Esto implica que el modelo de Solow predice que países con niveles de PIB per cápita más bajos crecerán a tasas más altas que países con niveles de PIB per cápita más altos. Este fenómeno se conoce como convergencia.

::: {#fig-growth_vs_level_developed}

![](../Figures/fig-ch3-fig7.png)

Fuente: @jones_introduction_2024
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El gráfico @fig-growth_vs_level_developed muestra la relación entre la tasa de crecimiento del PIB per cápita entre 1870 y 2019 y el nivel de PIB per cápita en 1870 para un conjunto de países desarrollados. Podemos observar cómo efectivamente existe una correlación negativa entre la tasa de crecimiento del PIB per cápita y el nivel de PIB per cápita en 1960. Así, los datos parecen confirmar la teoría de que existe convergencia.

::: {#fig-growth_vs_level_all}

![](../Figures/fig-ch3-fig8.png)

Fuente: @jones_introduction_2024
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Sin embargo, el gráfico @fig-growth_vs_level_all muestra la relación entre la tasa de crecimiento del PIB per cápita entre 1870 y 2019 y el nivel de PIB per cápita en 1870 para un conjunto más amplio de países que incluye países pobres y en vías de desarrollo. La relación parece no ser tan clara en este caso. ¿Cómo puede el modelo de Solow explicar esto?

Recordemos que el modelo de Solow nos dice que cada país tiende a converger a su nivel de capital eficiente por trabajador de estado estacionario, sin embargo, este nivel puede variar entre países. Mientras es razonable asumir que dicho nivel es similar para un conjunto de países desarrollados y con una gran interconectividad económica e institucional, este no tiene por qué ser el caso para todos los países. Si países como Malawi o Mozambique tienen características fundamentales --como la tasa de ahorro, el crecimiento poblacional o la tasa de depreciación-- distintas a las de los países desarrollados, su nivel de capital eficiente por trabajador de estado estacionario también será distinto. En consecuencia, de acuerdo con el modelo de Solow, no podemos esperar que estos países converjan a los niveles de PIB per cápita de los países desarrollados. De esta manera, mientras que el modelo de Solow garantiza la convergencia _condicional_ hacia el nivel de capital eficiente por trabajador de cada país, no garantiza la convergencia _absoluta_ hacia un nivel de PIB per cápita común para todos los países.

::: {#fig-growth_conditional}

![](../Figures/fig-ch3-fig9.png)

Fuente: @jones_introduction_2024
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Para reforzar este resultado sobre la convergencia _condicional_, en el gráfico @fig-growth_conditional podemos ver que una vez _controlamos_ por el nivel de capital eficiente por trabajador en el estado estacionario de cada país, la correlación negativa entre la tasa de crecimiento y el nivel de PIB per cápita vuelve a aparecer, aunque no de forma tan clara como en el caso de los países desarrollados. En este gráfico, utilizando métodos econométricos, lo que se está haciendo es esencialmente comparar la convergencia de Malawi vs Mozambique y de Japón vs Alemania, sin hacer una comparación de Malawi vs Japón. De esta forma, los datos parecen confirmar la teoría de que existe convergencia condicional en el sentido de que países con niveles de capital eficiente por trabajador similares tienden a crecer a tasas similares.

Es importante darse cuenta de que el modelo de Solow sí que implicaría una convergencia _absoluta_ a nivel mundial si variables como la tasa de ahorro, la tasa de crecimiento de la población o la tasa de depreciación fueran iguales para todos los países. Desde 1995 y gracias a la transformación económica de países como China --hemos visto que la tasa de ahorro en China ha cambiado, moviéndose hacia niveles más cercanos a los de los países desarrollados-- ha existido un cierto grado de convergencia absoluta.

## La contabilidad del crecimiento

Acabamos con las aplicaciones empíricas del modelo de Solow analizando cómo de importante ha sido cada uno de los factores de producción del modelo para el crecimiento del PIB per cápita a lo largo del tiempo. Sabemos que el PIB per cápita debe crecer al ritmo de la tecnología una vez estamos en la senda de crecimiento equilibrado. Sin embargo, hemos visto que el crecimiento transicional ha jugado un rol importante en el crecimiento del PIB per cápita en países como Alemania o China. Por ello, vamos a investigar cómo de importante para el crecimiento económico total observado ha sido el crecimiento en productividad (tecnología) vs el crecimiento transicional.

Recordemos que el crecimiento del PIB per cápita en el modelo de Solow viene determinado por 

$$ g_{y} = g_{A} + \alpha(g_{K} - g_{A} - g_{L}), $$ {#eq-growth_decomposition}

podemos reorganizar esta ecuación para obtener

$$ g_{A} = \frac{g_{y}}{1 - \alpha} - \frac{\alpha}{1 - \alpha}(g_{K} - g_{L}) $$

Mientras que el crecimiento de la productividad es algo difícil de observar y contabilizar, sí que tenemos datos de las tres tasas de crecimiento en el lado derecho de la ecuación. Por ello, podemos recuperar la tasa de crecimiento de la productividad como un residuo. Una vez tenemos este valor, podemos volver a incorporarlo en la ecuación @eq-growth_decomposition para obtener una descomposición de cómo ha afectado el crecimiento de cada factor al crecimiento económico total.

::: {#fig-growth_decomposition}

![](../FiguresAux/econgrowth4/ECONGROWTH4_TAB01_CH3.jpg){#fig-growth_decomposition}

Fuente: @jones_introduction_2024
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La tabla @fig-growth_decomposition muestra la descomposición del crecimiento del PIB per cápita en diversos componentes. El panel superior hace esta descomposición para Estados Unidos, mientras que el panel inferior lo hace para Japón. Hemos visto que gran parte del crecimiento económico de Alemania tras la II Guerra Mundial se ha debido a un crecimiento transicional al empezar en un nivel de capital eficiente por trabajador muy bajo debido a las consecuencias de la guerra. A priori, es lógico asumir que el caso de Japón es similar, de tal forma que deberíamos esperar una mayor contribución del crecimiento transicional en Japón que en Estados Unidos. En la tabla, desglosada por periodos, podemos observar que para todos los periodos la tasa de crecimiento de la productividad parece explicar casi todo el crecimiento económico de Estados Unidos. Por otro lado, para el caso de Japón, el crecimiento transicional juega un rol mucho más importante, especialmente a lo largo de la década de 1955-1965 debido a un nivel muy elevado de la tasa de crecimiento del capital, consistente con las predicciones de Solow para una economía que empieza con un nivel de capital eficiente por trabajador muy bajo.